Sistem Bilangan

Sistim Bilangan Digital Studi tentang sistem bilangan penting dari sudut pandang memahami bagaimana data direpresentasikan sebelum bilangan dapat diproses oleh sistem digital termasuk komputer digital. Ini adalah salah satu topik yang paling dasar dalam elektronik digital. Dalam bab ini kita akan membahas sistem bilangan yang berbeda yang biasa digunakan untuk merepresentasikan data. Kita akan memulai diskusi dengan sistem bilangan desimal. Meskipun tidak penting dari sudut pandang elektronika digital, gambaran singkat ini akan diberikan untuk menjelaskan beberapa konsep dasar yang digunakan dalam sistem bilangan lain. Hal ini kemudian akan diikuti oleh sistem bilangan lebih umum digunakan seperti  sistem bilangan biner, oktal dan heksadesimal. 1.1 Analogue Versus Digital Ada dua cara dasar yang mewakili nilai-nilai numerik dari berbagai  jumlah fisik yang terus-menerus berurusan dengan kehidupan kita sehari-hari. Salah satu cara, disebut sebagai analog, adalah untuk mengekspresikan nilai numerik dari kuantitas sebagai berbagai berkesinambungan nilai antara dua nilai ekstrim yang diharapkan. Misalnya, suhu tabel pengaturan oven di antara 0 hingga 100 ° C dapat diukur menjadi 65 ° C atau 64.96 ° C atau 64,958 ° C atau bahkan 64,9579 ° C dan seterusnya, tergantung pada akurasi alat ukur. Demikian pula, tegangan komponen tertentu dalam sebuah sirkuit elektronik dapat diukur sebagai 6,5 V atau 6,49 V atau 6,487 V atau 6,4869 V. Konsep yang mendasari dalam modus representasi adalah bahwa variasi dalam nilai numerik dari kuantitas yang berkelanjutan dan bisa salah satu nilai yang memungkinkan secara teoritis  tak terhingga antara dua ekstrem. Kemungkinan Cara lain, disebut sebagai digital, merupakan nilai numerik dari kuantitas dalam langkah nilai diskrit. Nilai-nilai numerik yang sebagian besar ditampilkan menggunakan bilangan biner. Misalnya, suhu oven dapat diwakili dalam langkah 1 ° C sebagai 64 ° C, 65 ° C, 66 ° C dan seterusnya. Untuk meringkas, bahwa representasi analog memberikan output yang berkesinambungan, representasi digital menghasilkan output diskrit. Sistem analog berisi perangkat yang proses atau bekerja pada berbagai  besaran fisik ditampilkan dalam bentuk analog. Sistem digital berisi perangkat yang memproses besaran fisik ditampilkan dalam bentuk digital. System dan teknik digital memiliki keuntungan menjadi relatif lebih mudah untuk merancang dan memiliki keakurasian tinggi, programabilitas, kekebalan kebisingan, penyimpanan data yang lebih mudah dan kemudahan fabrikasi dalam bentuk sirkuit terpadu, unggul untuk ketersediaan fungsi yang lebih kompleks dalam ukuran yang lebih kecil. Di dunia nyata, sebagaimana juga analog. Kebanyakan besaran fisika - posisi, kecepatan, percepatan, gaya, tekanan, suhu dan debit, misalnya – adalah  analog alamiah. Itulah sebabnya variabel analog yang menampilkan besaran ini perlu didigitalkan atau didiskritisasi pada masukan jika kita ingin memanfaatkan keunggulan-keunggulan dan fasilitas yang dihasilkan dengan menggunakan teknik digital. Dalam sistem yang khas berkaitan dengan masukan dan keluaran analog, variabel analog yang didigitalkan pada masukan dengan bantuan sebuah blok konverter analog-ke-digital dan kembali dikonversi ke bentuk analog pada keluaran dengan menggunakan blok konverter digital-ke-analog. Sirkuit konverter analog-ke-digital dan digital-ke-analog dibahas panjang lebar di bagian akhir buku ini. Pada bagian berikut kita akan membahas  berbagai sistem bilangan yang umum digunakan untuk representasi data digital. 1.2 Pengenalan Sistem Bilangan Kita akan memulai diskusi kita pada  berbagai sistem bilangan dengan sekilas gambaran parameter yang umum untuk semua sistem bilangan. Pemahaman tentang parameter dan relevansinya dengan sistem bilangan adalah fundamental bagi pemahaman tentang bagaimana berbagai sistem beroperasi. Karakteristik yang berbeda yang mendefinisikan sistem bilangan meliputi jumlah digit independen yang digunakan dalam sistem bilangan, nilai tempat dari angka yang berbeda dari bilangan dan bilangan maksimum yang bisa ditulis dengan digit angka yang diberikan. Di antara tiga parameter karakteristik, yang paling mendasar adalah angka digit independen atau simbol yang digunakan dalam sistem bilangan. Hal ini dikenal sebagai radix atau dasar dari sistem bilangan. Sistem bilangan desimal yang kita semua begitu akrab dapat dikatakan memiliki radix 10 karena memiliki 10 digit independen, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Demikian pula, sistem bilangan biner dengan hanya dua digit independen, 0 dan 1, merupakan sistem bilangan radix-2.  Sistem bilangan oktal dan heksadesimal  masing-masing memiliki radix (atau basis) 8 dan 16. Kita akan melihat di bagian berikut bahwa radix dari sistem bilangan juga menentukan dua karakteristik lainnya. Nilai tempat dari angka yang berbeda di bagian integer dari jumlah yang diberikan oleh r0, r1, r2, r3, dan seterusnya, dimulai dengan digit yang berdekatan dengan titik radix. Untuk bagian pecahannya adalah r-1, r-2, r-3 dan seterusnya, sekali lagi dimulai dengan angka berikutnya ke titik radix. Di sini, r adalah radix dari sistem bilangan. Juga, bilangan maksimum yang bisa ditulis dengan angka n dalam sistem nomor yang diberikan sama dengan rn. 1.3 Sistem Bilangan Desimal Sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan radix-10 dan karenanya memiliki 10 digit  atau simbol yang berbeda. Yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.  Dalam hal ini semua angka yang lebih tinggi setelah ‘9’ ditunjukkan angka 10 saja. Proses penulisan  angka tingkat yang lebih tinggi setelah '9' terdiri dari digit kedua (yaitu '1') angka pertama, diikuti oleh angka lainnya, satu demi satu, untuk mendapatkan 10 angka berikutnya dari '10' sampai '19'. 10  angka berikutnya dari '20 'ke '29' diperoleh dengan menulis digit ketiga (yaitu '2') angka yang pertama, diikuti oleh angka '0' sampai '9 ', satu per satu. Proses berlanjut sampai kita telah kehabisan semua kemungkinan kombinasi dua-digit dan mencapai '99'. Kemudian kita mulai dengan tiga digit kombinasi. Jumlah tiga digit pertama terdiri dari nomor dua-digit terendah diikuti dengan '0' (yaitu 100), dan proses berlangsung tanpa henti. Nilai tempat dari angka yang berbeda dalam angka desimal campuran, mulai dari titik desimal, adalah 100, 101, 102, dan seterusnya (untuk bagian integer) dan 10-1, 10-2, 10-3, dan seterusnya (untuk bagian pecahan). Nilai atau besarnya angka desimal yang diberikan dapat dinyatakan sebagai jumlah dari  berbagai digit dikalikan dengan nilai tempat mereka atau bobot. Sebagai gambaran, dalam kasus angka desimal 3586.265, bagian integer (yaitu 3586) dapat dinyatakan sebagai 3586 = 3×103+5×102+8×101+6×100 = 3000 +500 +80 +6 = 3586 dan bagian pecahan dapat dinyatakan sebagai ,265 = 2×10-1+6×10-2+5×10-3=0,2+0,06+0,005  = 0,265 Kita telah melihat bahwa nilai-nilai tempat adalah fungsi dari radix dan posisi digit dari sistem bilangan yang bersangkutan. Kita juga akan menemukan dalam bagian berikutnya bahwa konsep setiap digit memiliki nilai tempat tergantung pada posisi digit dan radix dari sistem bilangan berlaku sama untuk lebih sistem bilangan lain yang relevan. 1.4 Sistem Bilangan Biner Sistem bilangan biner adalah sistem radix-2 nomor dengan '0 'dan '1' sebagai dua digit independen. Semua angka biner yang lebih besar terwakili dalam hal '0 'dan '1'. Prosedur untuk menulis nomor higherorder biner setelah '1 'adalah serupa dengan yang dijelaskan dalam kasus sistem angka desimal. Sebagai contoh, 16 angka pertama dalam sistem bilangan biner akan 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 dan 1111. Nomor berikutnya setelah 1111 adalah 10000, yang merupakan bilangan biner terendah dengan lima digit. Hal ini juga membuktikan titik dibuat sebelumnya bahwa maksimal hanya 16 (= 24 angka dapat ditulis dengan empat digit. Mulai dari titik biner, nilai tempat dari angka yang berbeda dalam bilangan biner campuran adalah 20, 21, 22, dan seterusnya (untuk bagian integer) dan 2-1, 2-2, 2-3, dan seterusnya (untuk bagian pecahan). contoh 1.1 Pertimbangkan sistem nomor acak dengan digit independen sebagai 0, 1 dan X. Apa radix dari sistem nomor? Daftar 10 nomor pertama dalam sistem bilangan. Penyelesaian • radix dari sistem bilangan yang diusulkan adalah 3. •  angka 10 pertama dalam sistem bilangan akan menjadi 0, 1, X, 10, 11, 1X, X0, X1, XX, dan 100. 1.4.1 Keuntungan Operasi logika adalah tulang punggung dari setiap komputer digital, meskipun memecahkan masalah pada komputer dapat melibatkan operasi aritmatika juga. Pengenalan matematika logika oleh George Boole meletakkan dasar untuk komputer digital modern. Dia mengurangi matematika logika notasi biner '0' dan '1'. Sebagai matematika logika yang mapan dan telah membuktikan diri menjadi sangat berguna dalam memecahkan segala macam masalah logis, dan juga sebagai matematika logika (juga dikenal sebagai aljabar Boolean) telah direduksi menjadi notasi biner, sistem bilangan biner memiliki tepi yang jelas atas sistem bilangan lain untuk digunakan dalam sistem komputer. Namun keuntungan  lain yang signifikan dari sistem bilangan ini adalah bahwa semua jenis data dapat dengan mudah diwakili pernyataan 0 dan 1. Juga, perangkat elektronik dasar yang digunakan untuk implementasi hardware bisa mudah dan efisien dioperasikan dalam dua mode yang jelas berbeda. Sebagai contoh, sebuah transistor bipolar dapat dioperasikan dalam cut-off atau saturasi yang sangat efisien. Terakhir, sirkuit yang diperlukan untuk melakukan operasi aritmatika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dll, menjadi urusan sederhana ketika data yang terlibat diwakili dalam bentuk 0 dan 1. 1.5 Sistem Bilangan Oktal Sistem nomor oktal memiliki radix  8 dan karena itu memiliki delapan digit yang berbeda. Semua tingkat tinggi nomor tersebut dinyatakan sebagai kombinasinya dengan pola yang sama sebagai salah satu yang diikuti dalam kasus  sistem angka biner dan desimal yang dijelaskan dalam Bagian 1.3 dan 1.4. Angka independennya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.  angka10 selanjutnya mengikuti '7', misalnya, akan menjadi 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20 dan 21. Sebenarnya, jika kita menghilangkan semua nomor yang mengandung angka 8 atau 9, atau keduanya, dari sistem angka desimal, kita berakhir dengan sistem bilangan oktal. Nilai tempat untuk angka yang berbeda dalam sistem bilangan oktal adalah 80, 81, 82, dan seterusnya (untuk bagian integer) dan 8-1, 8-2, 8-3, dan seterusnya (untuk bagian pecahan). 1.6 Sistem Bilangan Heksadesimal Sistem angka heksadesimal adalah sistem radix-16 nomor dan 16 digit yang dasar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F. Tempat nilai atau bobot dari angka yang berbeda di sejumlah heksadesimal campuran adalah 160, 161, 162, dan seterusnya (untuk bagian integer) dan 16−1, 16−2, 16−3, dan seterusnya (untuk bagian pecahan). Setara desimal dari  masing-masing A, B, C, D, E dan F adalah 10, 11, 12, 13, 14 dan 15, untuk alasan yang jelas. Sistem angka heksadesimal menyediakan cara kental mewakili bilangan biner besar yang disimpan dan diolah di dalam komputer. Salah satu contohnya adalah dalam mewakili alamat dari lokasi memori yang berbeda. Mari kita asumsikan bahwa mesin memiliki 64K memori. Seperti memori memiliki 64K (= 216 = 65.536) lokasi memori dan membutuhkan 65.536 alamat yang berbeda. Alamat ini dapat ditunjuk sebagai 0 sampai 65.535 dalam sistem bilangan desimal dan 0000000000000000 - 1111111111111111 dalam sistem bilangan biner. Sistem angka desimal tidak digunakan dalam komputer dan notasi biner sini tampak terlalu rumit dan tidak nyaman untuk ditangani. Dalam sistem bilangan heksadesimal, 65.536 alamat yang berbeda dapat dinyatakan dengan empat digit dari 0000 sampai FFFF. Demikian pula, isi dari memori saat diwakili dalam bentuk heksadesimal sangat nyaman untuk ditangani. 1.7 Sistem Bilangan - Beberapa Istilah umum Pada bagian ini kita akan menjelaskan beberapa istilah yang umum digunakan dengan mengacu pada sistem bilangan yang berbeda. 1.7.1 Sistem Bilangan Biner Bit adalah singkatan dari 'biner digit' istilah dan merupakan unit terkecil dari informasi. Ini untuk '0' atau '1'. Byte adalah string dari delapan bit. Byte adalah unit dasar dari data yang dioperasikan sebagai satu kesatuan dalam komputer.  String, sebuah kata komputer lagi  yang ukurannya bit, disebut 'panjang kata' atau 'ukuran kata', bersifat tetap untuk komputer tertentu, meskipun dapat bervariasi dari komputer ke computer. Panjang kata mungkin sama satu byte, dua byte, empat byte atau menjadi lebih besar. Komplemen 1 tentang bilangan biner diperoleh dengan membalik semua bit nya, yaitu mengganti 0  dengan 1 dan 1 dengan 0. Sebagai contoh, komplemen 1 dari 100101102  adalah 011010012. Komplemen 2 dalam bilangan biner diperoleh dengan menambahkan '1' untuk komplemen 1-nya. Komplemen 2 terhadap 100101102 adalah 011010102. 1.7.2 Sistem Bilangan Desimal Sesuai dengan Komplemen 1 dan 2 dalam sistem biner, dalam sistem angka desimal kita memiliki komplemen 9 dan 10. Komplemen 9 tentang angka desimal yang diberikan diperoleh dengan mengurangkan setiap digit dari 9. Sebagai contoh, komplemen 9 tentang 249610 akan 750310. Komplemen 10 yang diperoleh dengan menambahkan '1' untuk komplemen 9 itu. Komplemen 10 tentang 249610 adalah 750410. 1.7.3 Sistem Bilangan Oktal Dalam sistem bilangan oktal, kita memiliki Komplemen 7 dan 8. Komplemen 7 dalam bilangan oktal diperoleh dengan mengurangkan setiap digit oktal dari 7. Sebagai contoh, komplemen 7 tentang 5628 akan menjadi 2158. Komplemen 8 ini diperoleh dengan menambahkan '1' untuk pelengkap 7 itu. Komplemen 8 terhadap 5628 akan menjadi 2.168. 1.7.4 Sistem Bilangan Heksadesimal Komplement 15 dan 16 didefinisikan sehubungan dengan sistem nomor heksadesimal. Komplemen 15 yang diperoleh dengan mengurangkan setiap digit hex dari 15. Sebagai contoh, komplemen 15 tentang 3BF16 akan C4016. Komplemen 16 yang diperoleh dengan menambahkan '1' untuk komplemen 15 itu. Komplemen 16 tentang 2AE16 akan menjadi D5216.